1对比分析的背景

新教材的编写是与时俱进的，为了更好的与经济发展相适应，教学改革从社会发展的实际需要来编写新教材，2019人教A版高中《数学》在整体设计与章节内部设计上作了较大调整，更加注重理论知识与实际问题相结合，把原始知识的来源讲清楚，不做难度的加深。在本文研究的“三角函数”的概念中这一思想有充分体现。三角函数是高中数学中最重要的函数模型之一，在现代化的生产生活中有重要应用，如何理解并掌握好三角函数的概念，为后续学习其他知识做好铺垫，本文分析新旧教材中“三角函数”概念设计的不同之处，有何新的特点，编排的意图有何变化等。

2.研究对象

人民教育出版社2004年版《普通高中课程标准实验教科书（必修）数学4（A版）》（以下简称旧教材），2019年版《普通高中教科书 数学（必修）第一册（A版）》（以下简称新教材）。

3.课标要求的对比分析

原课标：借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义

新课标：本单元的学习，可以帮助学生在锐角三角函数刻画指教三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性。借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

两个版本的课标都要求理解三角函数的定义，都是借助单位圆，所不同的是新课标直接研究单位圆上点的运动，如何刻画点的位置，直接给出单位圆的模型，重在培养学生的数学建模素养。

4.新旧教材的对比分析

4.1旧教材中三角函数概念的教材设计与安排

第一步：思考你能用直角坐标系中叫的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？

第二步：根据初中学过的三角函数定义，如图1，给出

。

   第三步：取,也就是点在单位圆上，如图2，可以得到，

。

   第四步：给出以单位圆上点的坐标来定义的三角函数，如图3，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点那么：

（1）叫做的正弦（），记作，即；

（2）叫做的余弦（），记作，即；

（3）叫做的正切（），记作，即（）

这个地方强调了由于正切是一个比值，分母不为0，即的条件转化为，正弦、余弦、正切都是以角为自变量。以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。后面又安排了三角函数线的学习。

从以上定义的知识顺序来看，是从特殊到一般，从个体到整体的安排。教科书在定义任意角的三角函数之前，作了如下铺垫：

直角三角函数为载体的锐角三角函数          象限交为载体的锐角三角函数

                                        单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数

从初中锐角三角函数定义进行推广到高中任意角的三角函数定义，学生有了一定的知识储备，把知识进行“升华”，得到一般定义。恰恰就是在知识的“升华”中，学生理解有一定的困难，困难在于知识跨度有点大，大多数学生可能仅仅记得锐角三角函数，而没有从本质上理解三角函数的定义（点的坐标的对应关系）。

学生在必修一中已经学习过几类基本初等函数，熟悉的函数形式是是实数到实数的对应，而这里给出的函数首先是实数（弧度数）到点的坐标的对应，然后才是实数（弧度数）到实数（横坐标或纵坐标）的对应，这就会给学生的理解造成一定的困难。困难在于中间需要一个过渡。

另外，这种三角函数的形式推广，不能完全体现任意角三角函数“周而复始”的变化规律，没有反映出它的本质特性。

4.2新教材中三角函数概念的教材设计与安排

第一步：先研究单位圆上点的运动，单位圆上的点以为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点的位置变化情况。

第二步：把单位圆放在直角坐标系中，以原点为圆心，在旋转过程中，与单位圆的交点，如图3.

第三步：探究活动：当时，点的坐标是什么?当时，点的坐标是又什么？取这几个特殊角时，学生会想到用直角三角形求解，让学生体会到点坐标与角之间的对应关系，并且是唯一确定的。

第四步：让学生理解并体会角与点的横坐标、纵坐标以及纵坐标与横坐标比值之间的对应关系，实数与实数的对应，进而给出三角函数的定义，特别强调点是角的终边与单位圆的交点这一条件，

（4）叫做的正弦（），记作，即；

（5）叫做的余弦（），记作，即；

（6）叫做的正切（），记作，即（）（）

新教材对三角函数的概念作了较大的改进，删除了三角函数线这一部分，能够有效解决旧教材中对三角函数定义的一些认知。首先，从数学建模的角度，让学生认识单位圆这样一个模型，这个模型最大的优点就是能体现任意角“周而复始”的变化规律，从宏观的角度来认识单位圆上点的变化规律。

本节课利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数。第一，圆周运动是典型的周期性变化现象，而单位圆上点的圆周运动又不失一般性，这个过程可以理解为一个数学抽象过程；第二，这个定义清楚地表明了正弦函数，余弦函数从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系；第三，角是弧度数（实数），那么正弦余弦函数就是关于任意实数的函数，这与函数的一般概念完全一致。

新教材中三角函数的定义直接从建立周期的数学模型出发，利用单位圆上点的坐标定义三角函数，然后再建立与锐角三角函数的联系。编排的意图是先定义一般三角函数，锐角三角函数是其特殊情况。让学生能真正体会到三角函数的本质，也让学生能认识到正是三角函数的这种形式决定了它在数学中重要性。

三角函数模型是是描述客观世界事物周期变化规律的函数模型，在日常生活中有广泛的应用。新教材对三角函数概念进行适当简化，能够突出三角函数概念的核心作用，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更紧密，为后期三角函数其他知识的学习做好铺垫。教材安排能够体现数学学科知识发展、学科思想与方法的深化，也能够激发学生深度参与学习活动的兴趣，可以促进学生数学建模核心素养的发展。

4.3新旧教材中“例题”的对比分析

两个版本的教材都安排了5个例题，其中例1、例4与例5是完全相同的，例3在于证明中问法改成了“充要条件”，更加直接，更加简洁，在新教材的学习中已经学习过“充要条件”。新旧教材中差异最大的是例2，旧教材中是一个具体的习题：已经角的终边经过点,求角的正弦、余弦和正切值。解答的旁边给出了角的终边上任意一点，如何求三角函数值的公式，并要求学生学会去证明。新教材中就直接让学生去证明这个一般性结论，,。这个实际上也是三角函数的另一种定义。这种定义与新教材中的定义存在联系，利用相似三角形对应边成比例来证明，相对来说加大了推理论证的力度，对学生“逻辑推理”的核心素养的培养是有益的，更是要求学生学有所用，学会去设计解决问题。一个新的数学概念有多种定义，多种定义直接必然存在联系，要透过现象看本质。要注意不同定义所提前预设的条件，学生要学会根据条件灵活选用定义来解决问题。

4.4新旧教材中“习题”的对比分析

   旧教材中这一大节安排了7个习题，新教材中习题分成两部分，第一部分安排了4个习题，第二部分安排了5个习题，共9个习题，与旧教材相比，增加了两个习题，修改了一个习题。增加部分分别是1.利用三角函数定义，求，的三个三角函数值。

2. 已知点在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，求时点所在位置。

    从增加部分的习题来看，第一题是从最特殊的几个角来求三角函数值，只需要学生会求单位圆与坐标轴的交点坐标，使用定义就可行，对学生来说入手较容易。增加的第2题在物理学科上还要学习，也是一个与物理相结合的问题，平面中的位置很容易想到用坐标表示，学生只要学会求出横坐标，纵坐标就可以了。

    从总体上看，习题的数量增加了，但不会增加学生的负担，增加的两个习题也比较好理解，体现了应用性的要求。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.  普通高中数学课程标准（实验）（2003年版）[S].北京：人民教育出版社，2003

[2]中华人民共和国教育部.  普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020

[3]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书必修4（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007

[4]章建跃.普通高中教科书必修第一册（A版）[M].北京：人民教育出版社，2019

[5]徐建新，陈丽真. 两个课标人教版中《三角函数的概念》内容的比较研究[J].  福建中学数学,2020年第8期：20-23

[6]吴建洪.  返璞归真：谈新旧教材中的“三角函数”概念教学[J]. 中学教研（数学），2020年第8期：6-8