中图分类号：G642.0　　　　文献标志码：A

一、引言

2020年5月教育部发布《高等学校课程思政建设指导纲要》,强调把思想政治教育贯穿人才培养体系,全面推进高校课程思政建设,发挥好每门课程的育人作用,提高高校人才培养质量^[1].该文件的出台不仅标志着高校课程思政建设进入新时代,而且表明课程思政是我国高校当前教育教学改革的一个重要方向,要求高校教师向学生传授知识和培养能力的同时要对他们进行思想政治教育和价值塑造^[2].

高等代数是数学专业三大基础课程之一,主要内容为一元多项式和线性代数.其中线性代数是理工科专业的必修课程.该课程定义定理居多、理论性较强、学习难度较大,但其在数学中的地位是至关重要,可为后续进阶课程提供必需的基础理论知识.同时该课程的学习有助于培养学生抽象思维和逻辑推断等能力,激发学生探索未知、追求真理、勇于创新的责任感和使命感,是课程思政建设的重要载体^[3].如何通过人文性较强的思政教育与理论性较强的高等代数课程之间的联系,挖掘思政元素,实现高等代数课程思政教学实践,已引起越来越多学者的关注.如文献[4 -7]中的学者们分别从不同的角度对高等代数相关课程思政教学实践进行了深入研究,但对高等代数课程思政的具体教学实践与教学设计讨论较少.

基于此,以高等代数中消元法为例,进行高等代数课程思政教学实践,将思政教育中思政元素巧妙地融入到教学的各个环节,增强数学的思政育人功能,培养出具有良好专业技能和较高政治素养的社会主义合格建设者和接班人,实现立德树人的教育目标.

二、消元法的课程思政目标

消元法的课程思政目标主要有三个方面: 第一、通过对中国古代《九章算术》中给出“遍乘直除法”的案例的讲解,该方法是世界上最早的完整的线性方程组的解法,从而增强学生的文化自信,培养学生的爱国主义精神; 第二、通过讲述利用消元法将线性方程组化成阶梯形方程组时,方程组形状变但解不变,逐步引导学生正确认识事物的“形变质不变”思想,培养学生辩证唯物主义世界观; 第三、通过讲述中国完全自主研发的北斗导航系统的应用案例,培养学生崇尚科学、追求真理、勇于创新的科学精神.

三、消元法的教学实践

消元法是《高等代数》(北京大学数学系前代数小组.高等代数.第五版.北京:高等教育出版社,2019)的第三章线性方程组的第一节的知识点,主要讲授消元法的具体实施过程、消元法与矩阵初等变换之间的关系、一般线性方程组解的情况和方程组有解时一般解的求解方法等内容.

（一）课程回顾,巩固知识

对于解线性方程组,在第二章已会用克拉默法则来解,但克拉默法则所能解的方程组是一类特殊方程组,大家还记得是哪一类吗? (可以提问学生).我们一起复习一下克拉默法则的适用条件和相关定理.本节课将对一般线性方程组的求解方法进行学习.

（二）提出问题,引发兴趣

中国古代数学名著《九章算术》中有一案例：今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何?^[7]

请大家试着用学过知识求解该问题?（可以提问学生的求解结果）

若根据现有的知识,可设上禾、中禾、下禾每1秉的能结粮食斗数分别是x , y , z ,则可得三元一次方程组

我们可以这样做: 第一步,将第一个方程减去第三个方程的3倍,第二个方程减去第三个方程的2倍,再把第一、三两个方程的次序互换,方程组变成

第二步,将第二个方程乘以-1,再把第三个方程加上第二个方程的4倍,方程组变成

第三步,第三个方程乘以1/12 ,得

即,方程组的解为(9.25,4.25,2.75).

以上解方程组的过程,在数学史上叫做高斯消元法,显然它比中学的加减消元和带入消元要简单,减少大量计算过程和运算量.同时,请大家仔细观察解法过程,思考其中有无规律,有的话,请记录下来,待会提问.

高斯(Johann Carl Friedrich Gauss),德国著名数学家,近代数学的奠基者之一^[7].高斯消元法对线性方程组的求解非常便捷,体现高斯过人的数学智慧.实际上,早在1700多年前中国的数学家们就能在不用设未知量的情况下,用更简单快捷的方法求解线性方程组.如《九章算术》中,就介绍了多元一次方程组的具体解法,用算筹将方程组的系数和常数项表示出来并进行运算.

接下来,我们来看看古代数学家是如何解线性方程组的.古代数学家给出的解法是遍乘直除法,用算筹表示方程组,如下图所示.

遍乘直除法的求解步骤:

第1步,以第1行为基础,将第2、3行的数都乘以3,分别连续地减去第1行,直到第2、3行的第1个数为0;

    第2步,以第2行为基础,将第1、3行的数都乘以5,分别连续地减去第2行,直到第1、3行的第2个数为0;

    第3步,以第3行为基础,将第1、2行的数都乘以36,分别连续地减去第3行,直到第1、2行的第3个数为0;

由遍乘直除法的结果可知,上等禾540秉有4995斗,中等禾180秉有765斗,下等禾36秉有99斗.即上等禾1秉有9.25斗,中等禾1乗有4.25斗,下等禾1秉有2.75斗.

通过比较遍乘直除法与高斯消元法,发现有许多相似之处(可以提问学生).但遍乘直除法没有借助设未知量来求解方程组,且早1700多年.因此,中华民族是个充满智慧的伟大民族,同学们应时刻保持民族自信心和自豪感,坚持文化自信,弘扬爱国主义精神.

（三）抽象概括,引出结论

无论是遍乘直除法,还是高斯消元法,不难看出,它们实际上是反复地对方程组进行变换,而所作变换也只是由以下3种基本的变换所构成:

1) 将两个方程的位置互换;

2) 将某一方程乘上一非零的数;

3) 将某一方程的倍数加到另一个方程.

于是,我们给出

定义 以上三种变换称为线性方程组的初等变换.

结论 消元的过程就是反复施行初等变换的过程.初等变换总是把方程组变成同解的方程组^[8].

（四） 应用理论,联系实际

既然初等变换总是把方程组变成同解的方程组,那该如何利用初等变换来解一般的线性方程组呢?

为此,假设有n个未知数s个方程的一般的线性方程组

先检查方程组(1)中的系数,若全为零,则没有任何限制,即可取任意值,从而方程组(1)可以看作是的方程组来解.如果的系数不全为零,不妨设,.分别把第一个方程的倍加到第i个方程(i = 2,…,s).于是(1)就变成

其中

再考虑方程组

显然,方程组(3)的一个解代入方程组(2)就得出(2)的一个解;而(2)的解显然都是(3)的解.即方程组(2)有解当且仅当方程组(3)有解.而(2)与(1)是同解的,因此(1)有解当且仅当(3)有解.对(3)重复上面的讨论,并且一步步作下去,最后就得到一个阶梯形方程组.

为讨论方便,不妨设所得的阶梯形方程组为

其中

方程组(4)中的“0＝0”这样一些恒等式可能不出现也可能出现,这时去掉它们不影响(4)的解.而且(1)与(4)是同解的.

考察方程组的解的情况:

当时,(4)无解,故(1)无解;

当时,(4)有解,故(1)有解,此时去掉“0＝0”的方程.分两种情况: i) 若r = n时,(4)有唯一解,故(1)有唯一解. ii) 若r < n时,(4)有无穷多解,故(1)有无穷多解.

事实上,任意给一组值,由(4)就唯一地定出的一组值.一般地.我们可以把通过表示出来.这样一组表达式称为(1)的一般解,而称为一组自由未知量．

以上解方程组的过程也可用方程组的增广矩阵来表示,这样表示后上述过程会变得更简单.设方程组(1)的增广矩阵B,则

经过一系列初等行变换可将增广矩阵B化成阶梯阵矩阵(可以提问学生原因)

其中

根据阶梯形矩阵也可考察方程组的解的情况:

当时,方程组(1)无解;

当时,方程组(1)有解,分两种情况: i) 若r = n ,(1)有唯一解; ii) 若r < n ,(1)有无穷多解^[8].

这样,方程组(1)有没有解,以及有怎样的解,都可通过它的增广矩阵看出.因此对增广矩阵实施初等行变换,可求解方程组,而无需设未知量,这即是遍乘直除法能求解方程组的缘故.用遍乘直除法和高斯消元法解方程组时,每一次变换后方程组以及对应的增广矩阵都在变换,但是方程组的解始终没有变化.这就是“形变质不变”的思想,要学会“透过现象看本质”,同学们要记住用辩证唯物主义世界观去看待问题和分析问题,切勿被表象所蒙蔽.

例题 解线性方程组(可以找学生来解)

解 将方程组(5)的增广矩阵作行初等变换化成行阶梯形

故,它的一个同解方程组是

把x₁, x₅作非自由未知量x₂, x₃, x₄当作自由未知量,并把方程组(6)变形成

解得原方程组的一般解为

（五）知识拓展,激发兴趣

中国北斗卫星导航系统(BDS)是中国自主研制的全球卫星导航系统,并在2014年被联合国认可为世界上第三个海上卫星导航系统.北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务,定位精度10米,测速精度0.2米/秒,授时精度10纳秒^[9].如此高的精度源于它的高精度的空间定位原理,其计算位置的原理就用到解方程组方法.

通过以上应用案例,同学们深刻认识到科学技术的重要性,科学技术是第一生产力,是促进经济繁荣和社会发展的动力,是提升综合国力的重要因素.同学们应时刻保持崇尚科学、勇于创新的科学精神和勇于探索、严谨务实的科学态度,要树立为中华民族伟大复兴而奋斗终身的远大理想.

四、结论

通过精心设计教学案例,将思政教育融入教学的各个环节,激发了学习兴趣,让学生主动参与学习,从而达到事半功倍的学习效果.其次,在课中有针对性地组织提问和讨论,将正确的世界观、人生观和价值观潜移默化地沁入学生的学习中,引导学生进行知识迁移、构建和解决问题等深度学习.同时,在教学过程中,教师还需扮演学习同伴的角色引导学生,让学生在主动探索过程中获得良好的成就感和满足感,在学习体验中获得更好的价值感受和人文情怀,促进其自主学习能力发展.

课程思政理念下的高等代数教学模式,可以让学生获得更多专业知识与思政教育资源,培养自律意识和自主学习能力,得到更多形式新颖、丰富多彩的思政教育.课程思政建设将是一个持续的、长期的过程,针对不同的学生、不同的章节内容,如何根据学生需求和课程章节特点,选择合适的教学案例和方法,推进课程思政教育,这是一个值得认真思考的问题.

参考文献

[1] 教育部关于印发《高等学校课程思政建设指导纲要》的通知.[2020.5.28]. http://www.moe.gov.cn/srcsite/A08/s7056/202006/t20200603_462437.html

[2] 刘祖林,粱好翠,宋翌.基于课程思政理念的概率论与数理统计教学的探讨[J].社会科学前沿, 2020, 9(9): 1525-1529.

[3] 张广亮,逄淑梅.基于混合式教学的高等代数课程思政建设研究[J].广东技术师范大学学报,2022,43(03):106-112.

[4] 李德贺,李波,张晓.思政元素融入高校数学类课程实现路径研究[J].教育理论与实践, 2022,42(03):57-60.

[5] 苏华东,欧玉芹.课程思政视域下数学专业高等代数课程的教学设计[J].南宁师范大学学报(自然科学版),2022,39(04):128-133.

[6] 崔燕,蒋小艳,江结林等.高等代数在线教学组织与课程思政实施策略研究[J].高教学刊,2022,8(07):68-71.

[7] 张俊忠,韦维.基于课程思政的高等代数教学研究[J].西南师范大学学报(自然科学版),2022,47(10):117-124.

[8] 北京大学数学系前代数小组,高等代数[M].第5版.北京:高等教育出版社,2019:70-73.

[9] 南昌北斗产业发展进入新纪元[N].本报评论员.南昌日报,2021.