基金项目：四川省自然科学基金（项目编号：2022NSFSC1806）与西华师范大学基本科研业务项目（项目编号：22kA005）资助。

一、引言

黑洞作为一个神秘的天体，其概念最早是在天文爱好者米歇尔给卡文迪许的信件中提出的[1]。1969年，科学家惠勒在一次会议报告上给垂暮之年的恒星正式命名为“黑洞”。如今，人们一般将万有引力强大得甚至连光都不能逃逸出来的极其致密的时空区域视为黑洞，如同一个“大黑窟窿”。其往往由质量足够大的恒星在核聚变反应后耗尽燃料而“死亡”发生引力坍缩产生。北京时间2019年4月10日，梅西耶87星系中心超大质量黑洞的照片正式发布，它是人类历史上首张黑洞照片。历经霍金等众多物理学家的研究发现，黑洞并非完全黑，而能以热辐射的形式发射粒子。霍金[2]把黑洞的热辐射看作是由于真空涨落引起的量子隧穿过程，这一过程即著名的“霍金辐射”。借用狄拉克真空的思想，真空并非一无所有，而是充满负能粒子的海，且在不停地发生着大量涨落现象。黑洞外部视界附近处由于真空涨落而不断产生虚的正、反粒子对，产生的虚粒子对摆脱不了几种命运，它们或者自行湮灭，或者两个都被陷获进入黑洞内部，也或者粒子对中的一个落进黑洞而另一个飞向远方。前两种情况都与黑洞辐射无关，而第三种情况正是导致黑洞热辐射的产生。

黑洞中量子隧穿辐射粒子的测地线运动是霍金辐射研究中的一个重要内容。量子隧穿辐射的粒子在黑洞强引力场中沿时空的“最短路径”或自由下落轨迹运动的方式即粒子的测地线运动。大量的工作对隧穿辐射粒子的测地线运动进行了研究，然而几乎所有相关研究工作对于粒子测地线运动方程的推导都存在些许的缺陷与不足，甚至有悖于作用量变分原理。为此，本文重点对隧穿辐射粒子测地线的推导方法进行改进，采用自洽且统一的方式定义黑洞中的有质量粒子与无质量粒子的测地线运动方程。

二、黑洞中隧穿辐射粒子的测地线运动方程

作为黑洞辐射探究的重要内容，自洽且统一地推导隧穿辐射粒子的测地线运动方程显得尤为重要。分析此前大量的相关研究工作不难发现，人们对于量子隧穿辐射粒子的测地线方程的处理存在如下的缺陷和不足。一方面，对与有质量隧穿辐射粒子测地线的处理过程是与作用量变分---第一原理相悖的。第一原理要求我们在广义相对论中应该从拉格朗日作用量出发采用变分原理推导出粒子的测地线方程，然而先前的大部分工作都借用相速度和群速度之间的关系定义辐射的测地线方程。另一方面，对于有质量和无质量隧穿粒子两种情形，需要采用两种采用截然不同的方式分别进行推导，有质量隧穿粒子的测地线推导方法不能用于推导无质量粒子测地线，往往还需额外借助度规线元的关系重新定义无质量粒子的测地线运动方程。更糟糕的是，部分工作的推导过程中混淆使用了相对论与非相论的定义。针对这些潜藏已久的缺陷与不足，本文将对黑洞中量子隧穿辐射粒子的测地线方程的推导加以改进。

为了彻底改进测地线方程推导过程中的缺陷和不足，我们可以充分利用变分原理，从经典拉格朗日作用量出发导出三个守恒的第一积分常数，即跟两个克林矢量和对应的能量和角动量，4-速度归一化条件，这三个守恒的积分常数足以决定粒子的经典运动方程[3-4]，从而推导得到有质量隧穿辐射粒子的测地线运动方程。而对于无质量粒子的测地线方程，只需对有质量粒子测地线取适当极限即可得到。接下来，本文将在反德西特（简写为AdS）时空背景下以瑞斯雷尔-诺斯特蒙（简写为RN）黑洞中量子隧穿辐射粒子为例对其测地线运动进行讨论。

AdS时空中球对称带电RN黑洞可以用下面的度规线元及电磁矢势描述

           （1）

                     ,                     （2）

式中度规函数为

                                        （3）

其中为瑞斯雷尔时间坐标，参量M和Q分别表示黑洞质量与总电荷，为AdS 半径，与宇宙学常数相关。黑洞视界半径由方程最大的根确定，即黑洞视界位于处。引入广义坐标变换

                    （4）

消除度规（1）的坐标奇异性，得到如下线元

   （5）

首先定义有质量的隧穿辐射粒子的测地线运动方程。值得注意的是，相较于以往牵强的推导过程，本文采用改进后的定义加以推导。

考虑一个有质量的带电粒子，由黑洞线元（5），便可得到相应的拉格朗日作用量，即

 （6）

式中，分别为粒子的静止质量和电荷，形如表示对仿射参数一阶求导。

根据定义可求得广义动量的表达式，即

               （7）

                       （8）

                                （9）

                          （10）

由于广义动量满足

                                          （11）

因此参数与为循环坐标，故对应的广义动量和守恒

                ，             （12）

根据定义，哈密顿量的表达式为

  （13）

考虑4-速度归一化条件，哈密顿量可以约束为一个常数，

                  （14）

取值0或1，分别对应于无质量隧穿辐射粒子情形和有质量粒子情形。联立方程（7）-（14）可求解出和，进而求得黑洞中量子隧穿辐射粒子的测地线运动的方程，即

  （15）

其中函数的具体形式为

             （16）

符号“”分别对应入射粒子与出射粒子的测地线运动方程。接下来以平面上的测地线为例进行分析。

对于黑洞中有质量的隧穿辐射粒子，令并考虑s-波近似（），便可给出面上有质量粒子的测地线运动方程，即

     （17）

符号“”分别对应入射粒子与出射粒子的测地线方程。

对于无质量的隧穿辐射粒子情形，令并考虑s-波近似（），便可得到面上无质量隧穿辐射粒子的测地线运动方程，即

         （18）

不难发现，上式在AdS半径的极限条件下的结果跟诺贝尔奖得主维尔切可[5]的分析一致。于是，本文最终以自洽的方式统一定义给出了RN-AdS 黑洞中带电有质量与无质量隧穿辐射粒子的测地线运动方程。

三、结束语

本文重点研究了黑洞中量子隧穿辐射粒子的测地线运动，对粒子测地线运动方程的推导过程加以改进，最终给出了自洽的推导方法，以统一地定义有质量隧穿辐射粒子与无质量粒子的测地线运动方程。该方法可进一步推广到更高维时空情形与其它引力理论背景。

参考文献：

[1]刘辽，赵峥. 广义相对论[M]. 第二版. 北京：高等教育出版社，2004.

[2]S.W.Hawking, Black hole explosions, Nature 248, 30(1974).

[3]王永久. 黑洞物理学[M].  长沙：湖南师范大学出版社，2005.

[4]梁灿彬. 微分几何与广义相对论[M].  北京：科学出版社，2006.

[5]M.K.Parikh, F.Wilczek, Hawking radiation as tunneling, Phys. Rev. Lett. 85, 5042(2000).