基于NURBS曲线的前瞻插补算法设计研究
摘要
关键词
NURBS曲线；前瞻算法；数控插补；高速精密加工；三次多项式
正文
中图分类号：TG659 文献标志码：A 文章编号：
Research on the Design of Look-ahead Interpolation Algorithm Based on NURBS Curves
Chen Fei1, Wei Bixia1，Huang Bin1
(Zhicheng College of Fuzhou University, Fujian, Fuzhou 350002)
Abstract: Non uniform rational B-spline (NURBS) curves have been widely used in CAD/CAM and CNC machining due to their flexibility and powerful shape control capabilities. In the field of high-speed precision machining, NURBS look-ahead interpolation algorithm plays a crucial role in improving machining efficiency and surface quality. However, with the increasing demand for interpolation accuracy in complex surface machining, current interpolation algorithms are difficult to achieve the unity of high precision and high efficiency. A look-ahead interpolation algorithm are proposed based on NURBS curves. By studying the properties of the cubic polynomial acceleration and deceleration control algorithm, the factors that meet the real-time requirements of the machining system are analyzed, and the problems that need to be solved by the forward-looking control algorithm are summarized in order to achieve a balance between high efficiency and high precision machining.
Key words: Keywords: NURBS curve; Look-ahead algorithm; Numerical control interpolation; High-speed precision machining; Cubic polynomial
0 引言
非均匀有理B样条（NURBS）是几何造型中一项核心技术，它不仅在几何建模领域发挥着重要作用，而且在数控加工程序设计中也起到关键性的技术。NURBS通过其具有的灵活性和非常强的形状控制能力，可以描述从简单的几何图形到复杂自由曲面的各种形状[1]。NURBS曲线与传统的贝塞尔曲线和B样条曲线相比，在描述相同形状的曲面时，通常可以使用更少的控制点，达到更高的数值稳定性和几何精度[2]。其核心在于采用了有理多项式的形式，通过引入权重参数来控制曲线形状，进而使得NURBS曲线能够精确地表示圆、椭圆和其它复杂曲面，尤其是在制造航空、汽车及船舶等领域的零部件时，其所展示的优势尤为明显[3]。
NURBS曲线通过控制顶点与权重参数精准定义形状，具备极高的灵活性和强大的表达能力。但是，随着高速精密加工技术的发展，由于机床的响应时间以及伺服系统的跟随误差，对NURBS曲线的插补算法提出了更高的要求，在数控加工中，如何精确且高效地进行NURBS曲线的插补计算成为提升生产效率和产品质量的关键问题。目前广泛应用的传统的插补算法虽然稳定，但在处理高速、复杂形状加工时常常难以满足精准度和效率的双重要求[4]。积极研究和改进插补算法，不仅能提升数控机床的运动性能，还能够增强加工过程的稳定性与实时响应能力。为此，本文提出了一种高效且精确的NURBS曲线前瞻插补算法，进一步优化了现有算法中插补速度与路径误差的问题。该算法不仅能够智能调整插补参数，实现更为流畅的轨迹过渡，还兼具自适应调节功能，在加工过程中根据实际情况实时修正插补数据，以保持加工过程的连续性和精度。
1 NURBS曲线插补原理
1.1 NURBS曲线表达
NURBS曲线表达式具有一般性和通用性的特点，可以将三维空间中的任意点、直线以及任意自由曲线等以一个统一的有理数学表达式表示出来[5]。这一优点，使得NURBS曲线表达式成为当今主流 CAD/CAM软件系统所采用的曲线、曲面表达形式。
一条p次的NURBS曲线定义的形式为：
（1）
式中：Pi（i=0,1,2…n）为控制顶点，（i=0,1,2…n）为每个对应控制点的权因子，u为无量纲参数，为定义在非周期（且非均匀）节点U上的第i个p次Ｂ样条基函数：
（2）
其中为节点矢量的节点值，满足（i=0,1,…,n+k）。
ｐ次Ｂ样条基函数递归定义为：
（3）
1.2 NURBS曲线插补误差求解
NURBS曲线插补是根据插补参数逐步确定一个个插补点，并且在插补过程使用微小直线段逼近曲线段，而这种逼近不可避免就会带来误差。由于插补点不存在径向误差，只需要考虑弓高误差δ即可。数控插补过程的步长一般都较小，通常采用近似圆弧的方法[6]来计算弓高误差，从而把弓高误差控制在足够小的范围，从而得到较高的加工精度。弓高误差的示意图如图1所示，其中δi为弓高误差，为曲率半径，为步长。
图1 弓高误差示意图
假设插补点的进给速度为V，插补周期为T，根据几何关系可以求得弓高误差：
（4）
根据公式（4）可知，假设加工过程中要求的最大弓高误差为，那么此时该误差约束下的进给速度为：
（5）
由此可见，进给速度受最大弓高误差限制，不同加工要求的情况需要按不同的速度进行加工。
2 前瞻插补算法设计
2.1 前瞻插补算法原理
在数控机床加工领域，NURBS曲线的前瞻插补算法对于确保加工精度和提升加工效率有着至关重要的影响。当工件的轮廓比较复杂时，在高速加工的路径中如果遇到高曲率点或方向突变点，就会使刀具运动发生急转弯，为了更好地保证加工精度，须将速度减少到弓高误差范围内。但受机床性能的限制，在加工过程中，无法实现速度瞬间大幅度降低，只有刀具经过一段加工轨迹连续降低才能完成，须提前在高曲率点或方向突变点连续减速。针对NURBS曲线特性，设计合理的前瞻插补算法能有效预测并调整插补速率，解决由于速率突变引起的插补误差，维持处理机床的动态稳定性，优化加工路径以减少机床的非生产时间。
传统插补算法中，通常采用固定步长或者固定周期的插补方式，这样虽然简化了算法设计，但在面对复杂曲线形状时往往无法做出最优的响应。前瞻控制算法是通过提前进行有效的运算，从而以提前观察加工轨迹的速度为突变点，对进给速度采取有效的控制措施方法[7]。通过提前对加工轨迹进行分析，可以发现曲率高的点和突变的方向点，从而找出加工过程的减速点，达到对加工速度进行优化设计的过程，这样可以进一步保证加工平滑过渡的同时速度最大化，在满足加工精度的同时实现高速地对物体进行加工。
2.2 三次多项式加减速算法
在速度调节曲线设计中，采用三次或更高阶的曲线能确保速度与加速度的连续性。如果这样的曲线也符合机床电机系统动力学特性及其加速和减速控制需求，则能够达成高速柔性加工与顺畅加速减速的效果。通过位移与速度、加速度、加加速度三者之间的导数关系可知，在实际的加工过程中，加工速度曲线为三次曲线或更高时，即可保证获得平滑的加速度曲线和加加速度曲线的连续[8-10]。三次多项式速度曲线由于阶次相对较低，计算也比较简单，还能保证连续而平稳的速度和加速度。三次多项式加减速算法模型如图2所示。
图2 三次多项式加减速算法模型
三次多项式的加减速模型分别由位移、速度、加速度、加加速度曲线对应的多项式构造而成，如公式（6）所示：
(6)
其中，tm为加速或减速过程的时间，t为加速或加速的时间，。
由于加工过程中的每个轨迹段都是独一无二的，因此在加工过程中，每段轨迹的最大速度不会同时达到最大进给速度F。由于这种差异，以F作为最大进给速度构造的三次多项式曲线模型与实际情况可能存在显著偏差。为了使速度情况与实际加工相符，需要对每段加工轨迹根据预插补得到的起始速度、终止速度和最大速度进行调整。
2.3 前瞻控制算法实现
前瞻控制算法通过提前规划速度，在接近速度变化点之前减速，以确保机床和刀具在稳定的插补速度下通过速度突变点。如果加工曲线中没有显著的曲率变化点，数控系统可以平稳加速，并且可以提高进给速度以提高加工效率。
在前瞻控制算法中，首先需要解决的核心问题是在突变点的最优速度，这对整个加工过程都至关重要。突变点信息主要包括突变点的位置和速度，在预插补阶段，是利用弓高误差计算得到速度突变点的局部最优解，弓高误差随进给步长和插补点曲率增大而增大，而所有轨迹段的和都是曲率较大值的速度突变点，或者是整个加工过程的起始和结束点。超出这些值可能导致误差超出限制，因此在速度调整时的准则是尽量减小速度。
前瞻控制算法需要提前扫描路径并实时计算，以调整系统的进给速度。确定前瞻距离之前，首先要理清各速度突变点之间的内在联系，并据此使前瞻距离最优化[11]。前瞻距离由两部分组成，超前前瞻距离的类型和必要前瞻距离的类型。必要前瞻距离类型为加工到任一插补点的过程中，以当前的进给速度减速至停止时需要的最短长度。超前前瞻距离为该分段曲线能达到的最大速度减速至停止时需要的最短长度。
前瞻控制算法在各个段落的加速度变化可以被有效预测和平滑处理，从而衔接分段插补，克服了传统等速插补在复杂曲面处理中的不足。算法实现的具体步骤如下：
图3 前瞻控制算法流程
算法流程的每一步均被严格地验证与优化，以确保算法在不同工况下都能快速准确地进行插补。这一过程中积累的经验和数据对于进一步提高加工效率和表面质量具有非常重要的参考价值。
3 结论
通过三次多项式自适应速度规划，前瞻控制算法考虑到实际数控机床中常见的动力学限制和加工精度要求，综合了最大弓高误差约束以及插补路径的曲率变化情况。在临界条件下，依据机床动力学性能和临界曲率值判断，在算法中引入了速度调整机制，确保了在满足插补精度的前提下，进给速度可以在合理范围内动态调整，提高了插补过程中的平滑性与加工效率。该插补算法不仅优化了插补步长的计算方法，还提升了插补参数的预测精度，从而在保障了加工产品的形状与尺寸精度的同时，也实现了对加工路径的快速响应与高效跟踪。
参考文献
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