叠放体是高中物理的一个重要模型，通过叠放体问题的考察，能深入了解学生对牛顿力学的三个基本观点（力和运动的观点、动能观点、动量观点），甚至电磁学相关知识的掌握情况，因此是历年各省市高考考察频率最高的模型之一，也是学生比较头疼，难以入手的问题之一。笔者根据多年的分析研究，总结出叠放体问题普遍设置的三道防线及有效突破的方法，在教学实践中取得了良好效果。现整理如下，供同行指评和借鉴。

1  受力分析

受力分析是叠放体问题设置的第一道防线，尽管这是高一所学的主要内容，但学生到高三总复习时还频频出错，可见这是学生的共性问题。

突破方法：学会受力分析需要一个循序渐进的过程，从开始学习时就要引导学生有一个正确的分析步骤：首先明确研究对象，再根据受力分析顺序——重力、弹力、摩擦力、外加力（拉力、压力、推力、电场力、磁场力等）一一分析受力。这样才可防止添力和漏力。

例1. 如图1，光滑斜面固定于水平面，滑块A、B叠放后一起冲上斜面，且始终保持相对静止，A上表面水平。则在斜面上运动时，B受力的示意图为                           （       ）

【解析】隔离B为研究对象，根据受力分析顺序，受重力、弹力、摩擦力，不受外力；A、B一起冲上斜面，其加速度沿斜面向下，又因为摩擦力的方向总是沿着接触面，所以A选项正确。

2  判断相对运动

判断相对运动是叠放体问题设置的第二道防线，而且属于此类问题的难点。

突破方法：要求学生先寻找临界加速度，再利用加速度间大小关系做出判断。下面分两种情况讨论：

2.1  光滑水平面上的叠放体

设两物体的质量分别为m₁、m₂，它们之间的动摩擦因数为μ

⑴如图2,当两物体初速度不都为零时，有

ⅰ.v₁=v₂，a₁=a₂=0,无相对运动；

ⅱ.v₁＞v₂，a₁=-μg≠a₂=,有相对运动；

ⅲ.v₁＜v₂，a₁=μg≠a₂=-,有相对运动。

⑵当两物体初速度都为零，并有外力F作用在某一物体上时，以不受力F作用的物体为研究对象，求出临界加速度a₀，比较a₀、a₁、a₂的大小关系，再做出判断。

①如图3,F加在m₁上时，以m₂物体为研究对象，求得临界加速度a₀=，则有

ⅰ.0＜F≤（m₁+m₂）a₀时，a₁=a₂=≤a₀，无相对运动；

ⅱ.F＞（m₁+m₂）a₀时，a₁=＞a₂= a₀，有相对运动，且m₁运动的较快。

②如图4,F加在m₂上时，以m₁物体为研究对象，求得a₀=μg则有

ⅰ.0＜F≤（m₁+m₂）a₀时，a₁=a₂=≤a₀，无相对运动；

ⅱ.F＞（m₁+m₂）a₀时，a₁=a₀＜a₂=，有相对运动，且m₂运动的较快。

例2. 如图5所示，光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个木块，其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg。现用水平拉力F拉其中一个质量为2 m的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m的最大拉力为（   ）

A．      B．     

C．      D．

【解析】先以不受外力F的三个物体整体（共4m）为研究对象，求得最大临界加速度a₀==，

再以绳左边的两个物体整体（共3m）为研究对象，根据牛顿第二定律得T=3ma₀=，故选B．

2.2  粗糙水平面上的叠放体

设两物体的质量分别为m₁、m₂，m₁、m₂间、m₂与水平面间的动摩擦因数分别为μ₁、μ₂，则m₁的滑动摩擦力f₁=μ₁m₁g,m₂与水平面间的滑动摩擦力f₂=μ₂（m₁+ m₂）g。特别注意计算叠放体下面物体的摩擦力时，千万别忘记上面物体给它的压力作用。

⑴如图6，当两物体初速度不都为零时，有

ⅰ.v₁=v₂，a₁=a₂=-μ₂g,无相对运动；

ⅱ.v₁＞v₂，a₁=-μ₁g≠a₂=,有相对运动；

ⅲ.v₁＜v₂，a₁=μ₁g≠a₂=-,有相对运动。

⑵当两物体初速度都为零，并有外力F作用在某一物体上时

①如图7，当F加在m₁上，则有

ⅰ.0＜F≤f₁≤f₂或0＜F≤f₂≤f₁时，a₁=a₂=0，两物体都静止，无相对运动；

ⅱ.f₁≤f₂且F＞f₁时，a₁=＞a₂= 0，有相对运动，且m₁加速运动，m₂静止；

另外，假如两物体一起加速，利用整体法得a=，m₂能获得的临界加速度a₀=

ⅲ.如果a≤a₀，则a₁=a₂=a，无相对运动的一起加速运动；

ⅳ.如果a＞a₀，则a₁=＞a₂= a₀，有相对运动，且m₁比m₂加速快。

②如图8，F加在m₂上，则有

ⅰ.0＜F≤f₂时，a₁=a₂=0，都静止，无相对运动；

当F＞f₂时，假如两物体一起加速，a=，m₁能获得的临界加速度a₀=μ₁g，

ⅱ.如果a≤a₀，则a₁=a₂=a，无相对运动的一起加速运动；

ⅲ.如果a＞a₀，则a₁= a₀ ＜a₂=，有相对运动，且m₂比m₁加速快。

例3. 如图9所示，质量M = 1kg的木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数μ₁=0.1，在木板的左端放置一个质量m=1kg、大小可以忽略的铁块，铁块与木板间的动摩擦因数μ₂=0.4，取g=10m/s²，试求：
(1)若木板长L=1m，在铁块上加一个水平向右的恒力F=8N，经过多长时间铁块运动到木板的右端？
(2)若在铁块上的右端施加一个大小从零开始连续增加的水平向左的力F，通过分析和计算后，请在图10中画出铁块受到木板的摩擦力f₂随拉力F大小变化的图像。(设木板足够长)

【解析】这是力加在叠放体上面物体的情况。计算出木板与地面间及两物体间的滑动摩擦力f₁=2N, f₂=4N，f₁＜f₂。以M研究为对象求得临界加速度a₀==2 m/s²，相对运动时临界力F₀=(M+m)a₀+ f₁ =6N 。由此可知，当0＜F≤f₁=2N 时都静止，f₂=F；当2N＜F≤F₀=6N 时，无相对运动的一起加速运动，a= ，由 f₂－f₁=Ma得： f₂=F/2 +1；当F＞6N时，有相对运动，且m比M加速快，f₂=4N保持不变。

（解略）答案：(1) t=1s
(2)画出f₂随拉力F大小变化的图像如图11。

 3  功能关系

叠放体问题的最后一道防线是搞清功能关系，并列式求解。

突破方法：顺着以下线索逐一分析：明确研究对象——确定研究过程——判断各力做功情况——找出始末对应的各种能量及研究过程中能量的转化和转移情况——选择合适的公式（力和运动的观点、动能观点、动量观点）列式求解。

这里强调一下，摩擦生热是滑动摩擦时产生的热，大小等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，即Q＝f•△s。摩擦生热公式可称之为“功能关系”或“功能原理”的公式，但不能称之为“动能定理”的公式，它是由动能定理的关系式推导得出的二级结论。

例4. 如图12所示，物体A放在足够长的木板B上，木板B静止于水平面。t=0时，电动机通过水平细绳以恒力F拉木板B，使它做初速度为零、加速度a_B=1.0m/s²的匀加速直线运动。已知A的质量m_A和B的质量m_B均为2．0kg,A、B之间的动摩擦因数=0.05，B与水平面之间的动摩擦因数=0.1，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等，重力加速度g取10m/s²。求

（1）物体A刚运动时的加速度a_A；

（2）t=1.0s时，电动机的输出功率P；

（3）若t=1.0s时，将电动机的输出功率立即调整为P^/=5W，并在以后的运动过程中始终保持这一功率不变，t=3．8s时物体A的速度为1.2m/s。则在t=1.0s到t=3.8s这段时间内木板B的位移为多少？

【解析】（1）这是力加在叠放体下面物体的情况，以上面物体A为研究对象，求得临界加速度a₀=μ₁g=0.5m/s²＜a_B=1.0m/s²,则两物体相对运动。

（2）以木板B为研究对象，由牛顿第二定律求出恒力F，解得。

（3）将电动机的输出功率调整为P^/=5W时，先分析B的受力，进而判断运动情况。由，解得，所以木板所受合力为零，将做匀速直线运动v₁=a_B t₁=1m/s。由此可知在t=1.0s到t=3.8s这段时间内A将经历两个运动过程，先与B有相对运动，以临界加速度a₀做匀加速运动，后无相对运动的一起做加速度逐渐减小的变加速运动；B也将经历两个运动过程，先匀速直线运动，后与A的运动一样。对A来说，两过程摩擦力都做正功；对B来说，两过程中拉力做正功，摩擦力做负功。以A、B整体来看能量关系，始末状态动能可知，第一个运动过程有相对运动便有摩擦生热Q＝f•△s。综上，可选择能量守恒关系列式m_Av_a²＋m_Bv₁²＋P△t－Q－(m_A＋m_B)gS =(m_A＋m_B)v²，求解得S=3.03m.。

笔者从以上三方面逐层概述了如何解决叠放体问题，希望同学们在学习过程中有所借鉴，并能主动总结出解一些典型类型问题的行之有效的方法，以便提高学习效率，达到事半功倍的目的。